miércoles, 12 de octubre de 2011

Un poco de historia y el nacimiento del Cálculo.

Un poco de historia y el nacimiento del Cálculo. Fuente: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm Introducción El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.
Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, o más bien dicho, coinventores, pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.
Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra
relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.
El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.
El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos: Encontrar la tangente a una curva en un punto. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad. Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de infinitamente pequeño se llama diferencial de , y se anota . Lo mismo ocurre para y (con notación ). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales ( ). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido. x x dx dy dx dy esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.
Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.
La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.
La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.
El siglo XVIII Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió
Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico, y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.
Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés". El siglo XIX Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.
Gauss desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.
Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro
Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854). Siglo XX y nuestros días Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.
El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstractas encuentra aplicación.
Conclusiones El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones

consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta. Este es un resumen de algunos de los momentos y logros históricos más importantes de esta rama importantísima de las matemáticas y pretende motivarte para que realices una indagación e investigación más profunda sobre las ideas y los hechos aquí presentados.

Historia del cálculo

Historia del cálculo Por: Covadonga Escandón Martínez Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos. Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números. Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible: Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse. Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida. Diagrama de Arquímedes Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es
área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área
4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas A
El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:
, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ... A
Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π. Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución. No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó
(0
Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(
Parábola:
Hipérbola:
Al estar examinando
paralela al eje
Descartes produjo un importante método para deteminar normales en
(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A. De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo. Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1. m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área. Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m. y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m. y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rp para r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo. La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton. Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo. Triángulo de Barrow El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como
Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería
publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal
En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar
Newton tuvo problemas para publicar su obra matemática. Barrow tuvo algo de culpa ya que el editor de la obra de Barrow había quebrado y después de esto ¡otros tenían temor de publicar obras matemáticas! La obra de Newton sobre
En estas dos obras, Newton calculó la expansión en serie de sen
Aquí se pueden ver la Newton fue el
En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad x
Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites'.
Leibniz aprendió mucho en un viaje por Europa en el que conoció a Huygens en París en 1672. También conoció a Hooke y a Boyle en Londres en 1673 donde compró varios libros de matemáticas, incluyendo las obras de Barrow. Leibniz sostendría una larga correspondencia con Barrow. Al volver a París, Leibniz realizó un trabajo buenísimo sobre el cálculo, pensando en los fundamentos de manera muy distinta a Newton. Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que
La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación
∫y dy = y²/2
escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.
Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.
el triángulo diferencial de Barrow. Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo. El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli. x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0. y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo. Análisis con series infinitas fue escrita en 1669 y circuló como manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. Se modo similar, su Método de fluxiones y series infinitas fue escrito en 1671 y publicado en inglés en 1736. El original en latín fue publicado mucho después. x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual ex. Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks. Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice: n se convierte en (x + o)n, es decir, por el método de series infinitas, xn + noxn-1 + (nn - n)/2 ooxn-2 + ... dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina. Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis. Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive
Otras páginas Web relacionadas
El descubrimiento del cálculo Análisis matemático Cálculo diferencial e integral (simulaciones)

La costumbre de Newton de no publicar inmediatamente sus trabajos le causó más de un problema en torno a la prioridad de algún descubrimiento, pero la disputa más famosa la sostuvo con Leibniz.
En el año 1684, el profesor y diplomático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz publicó un trabajo matemático en la revista Acta Eruditorum en el que se anunciaba "un nuevo método para los máximos, los mínimos y las tangentes, que no es obstaculizado por las cantidades fraccionarias, ni irracionales, así como un notable tipo de cálculo para esto", es decir, un trabajo acerca de lo que hoy conocemos con el nombre de cálculo diferencial. Dos años después publicó, en esa misma revista, las bases de lo que conocemos hoy como Cálculo Integral.
Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, quien primero desarrolló estos temas fue Isaac Newton durante los años 1664 a 1666. Por entonces, Newton era estudiante del Trinity College de Cambridge e inventó lo que él llamó las fluxiones, que no eran otra cosa que un conjunto de reglas con las que también podía calcular máximos, mínimos y tangentes sin que las cantidades fraccionarias o irracionales supusieran ningún obstáculo. En 1669, cuando Newton contaba 27 años, ya ocupaba una cátedra de matemáticas en Cambridge, pero cuando realmente saltó a la cumbre de la fama fue en 1687, año en que publicó su libro Principia Mathematica, obra que, según algunos, es el mayor libro científico jamás escrito. En ella explicaba las leyes que rigen el universo, y deducía matemáticamente desde los flujos de las mareas hasta las órbitas de los planetas. Con esta obra, Newton se convirtió en el símbolo vivo de la nueva ciencia y en un semidiós de los ámbitos científicos. A partir de ahí, lo hicieron diputado, Director de la Real Casa de la Moneda y presidente de la Royal Society (organismo inglés integrado por los más prestigiosos científicos)
Un paseo por la historia de las matemáticas

CÁLCULO

CÁLCULO
Antecedentes históricos
El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y
aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.
El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la
matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,
centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos,
ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.
El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con
anterioridad. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades,
aceleraciones, rectas tangentes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las
matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más
estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en
el movimiento; trata de cantidades que se aproximan a otras cantidades.
La Escuela Rusa contemporánea de Matemática concibe una gran división de esta ciencia
de la siguiente manera:
 
 
 
 
en donde no se usa la idea de límite
Matemática Elemental
en donde se usa la idea de límite
Matemática Superior
Matemática
Los calificativos de “superior” y “elemental” no son sinónimos de “fácil” y “difícil”,
respectivamente. Sólo por dar un ejemplo, en el libro de Lidski,
elementales
Problemas de matemáticas(Edit. Mir, Moscú, 1972), aparece el siguiente problema: resolver la ecuación:
a
a
x
a
x
ax ax
a x a x log 4 log 4 log 4 log 4
Llegar a establecer que en el caso en que
a 1 esta ecuación tiene dos soluciones, a saber
2
1
a
x a y 2
1
2
x
a a , requiere de cierto trabajo algebraico no precisamente sencillo. Sin
embargo, el problema: “Calcular la derivada de la función
  3 f x 4x ”, al cual, con toda
seguridad podrás dar respuesta correcta en unas cuantas fracciones de segundo cuando
finalices el tema de derivadas, es considerado como un problema de matemática superior,
pues en él está involucrada la idea de límite.
Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas de las matemáticas. De hecho,
podríamos definir al Cálculo como la parte de las matemáticas que trata con límites.
Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos
griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento”. Sabían cómo hallar
el área
sumar las áreas de estos triángulos (Figura 1).
Es un problema mucho más difícil hallar el área de una figura curva. El método griego de
agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en
torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos
aumentara. Fue Arquímides (287-212 a.n.e.) quien dio la descripción más clara de este
método. En figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo, con
polígonos regulares inscritos.
Sea
aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos, entonces, que el área del círculo es el
A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos (método de triangulación), yn A el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n , se ve que n A se
límite
de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos:
n
n
A lím A

Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento
indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula
del área de un círculo:
El
es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un
momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la
distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos
para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar
el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las
Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina
2 A r .Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento,
excesivamente pequeño, llamando la “
momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiemporazón del momentum” al tiempo correspondiente es
decir, la velocidad. Por lo tanto,
fluente es la cantidad variable que se identifica como
función
la
identifica como la
son entre sí como sus derivadas”.
; fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica comoderivada; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se llama momento que sediferencial. El principio establece que: “los momentos de las funciones
Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-
1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican
hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las
tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando
que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto
de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la
ordenada del mismo punto. Los símbolos
dx
dy
dx
, , la palabra “derivada” y el nombre de
ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.
Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el
Cálculo Diferencial, sobresaliendo entre otros, los siguientes:
Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos
diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del
Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz
en la invención del Cálculo Diferencial. Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar
ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a
otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de
reservarse el éxito para sí mismo y para su nación, ya que existía gran rivalidad entre
franceses, alemanes e ingleses, razón por la que las demostraciones de Fermat se hayan
perdido. Hizo además aportaciones a la geometría analítica, la teoría de números y la
probabilidad.
Nicolás Oresme, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que: en la
proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima,
dicha ordenada varía más pausadamente.
Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que
permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas,
igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en
que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje
pendiente de la tangente es nula.
Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677), maestro de Newton, construyó el
x donde la
“triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus
catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los
extremos del arco.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor
Medio. Se dice que Napoleón dijo de él un día: “Lagrange es la altiva pirámide de las
ciencias matemáticas”.
Augustin-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857),
matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las
Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones
de “
continua
función de función” y la de “función compuesta” se deben a él. El concepto de funciónfue introducido por primera vez por él en 1821. En la definición dada en su texto
Cours d’Analyse
de los pequeños cambios indefinidos en
se expresa que los pequeños cambios indefinidos en y eran el resultadox . “… se dirá que f xes una función continua
si… los valores numéricos de la diferencia
los de
f x f xdecrecen indefinidamente con…”. A principios del siglo XIX dio una definición satisfactoria de límite, y en
consecuencia, de derivada de una función.
Leonhard Euler (1707-1783). La simbología
importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los
primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos
publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía,
mecánica y magnetismo.
John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616
f xse debe a él, quien además de hacerOxford, 28 de octubre de 1703), enuncia
el concepto de “
La representación simbólica “
abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).
límite”.lím” se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de
El símbolo “
Karl Weierstrass, matemático alemán, se encargó de dar formalidad y estructura a la noción
intuitiva de límite.
Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) fue quien dio la primera definición moderna de
Al principio del desarrollo del cálculo, la definición de función era mucho más restringida
que en la actualidad, y no se habían considerado funciones como la de Dirichlet.
tiende alo propuso J. G. Leathem.función.
Jacobo Bernoulli introduce la palabra “
función” en el Cálculo Diferencial.
Niels Henrik Abel (1802.1829) y Evariste Galois (1811-1832). Aunque sus vidas fueron
breves, sus trabajos en los campos del análisis y del álgebra abstracta fueron de gran
alcance.
En el siglo XIX se encontraron bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente
pequeño.
El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como
una herramienta técnico
magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los
cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la
astronomía para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina
para medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del Cálculo Diferencial se deben a
Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el Cálculo Diferencial continuó
basándose en el concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama fundadores
del Cálculo, ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental
científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen
del Cálculo Diferencial denominado “Problema de las Tangentes”, en el cual hay que hallar
las rectas tangentes a una curva dada en un punto
quien trató de ampliar el cálculo al desarrollar reglas y asignarle una notación formal. A
menudo pasó días eligiendo una notación apropiada para un nuevo concepto.
P cualquiera. Sin embargo, fue Leibniz