miércoles, 12 de octubre de 2011

CÁLCULO

CÁLCULO
Antecedentes históricos
El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y
aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.
El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la
matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,
centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos,
ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.
El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con
anterioridad. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades,
aceleraciones, rectas tangentes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las
matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más
estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en
el movimiento; trata de cantidades que se aproximan a otras cantidades.
La Escuela Rusa contemporánea de Matemática concibe una gran división de esta ciencia
de la siguiente manera:
 
 
 
 
en donde no se usa la idea de límite
Matemática Elemental
en donde se usa la idea de límite
Matemática Superior
Matemática
Los calificativos de “superior” y “elemental” no son sinónimos de “fácil” y “difícil”,
respectivamente. Sólo por dar un ejemplo, en el libro de Lidski,
elementales
Problemas de matemáticas(Edit. Mir, Moscú, 1972), aparece el siguiente problema: resolver la ecuación:
a
a
x
a
x
ax ax
a x a x log 4 log 4 log 4 log 4
Llegar a establecer que en el caso en que
a 1 esta ecuación tiene dos soluciones, a saber
2
1
a
x a y 2
1
2
x
a a , requiere de cierto trabajo algebraico no precisamente sencillo. Sin
embargo, el problema: “Calcular la derivada de la función
  3 f x 4x ”, al cual, con toda
seguridad podrás dar respuesta correcta en unas cuantas fracciones de segundo cuando
finalices el tema de derivadas, es considerado como un problema de matemática superior,
pues en él está involucrada la idea de límite.
Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas de las matemáticas. De hecho,
podríamos definir al Cálculo como la parte de las matemáticas que trata con límites.
Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos
griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento”. Sabían cómo hallar
el área
sumar las áreas de estos triángulos (Figura 1).
Es un problema mucho más difícil hallar el área de una figura curva. El método griego de
agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en
torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos
aumentara. Fue Arquímides (287-212 a.n.e.) quien dio la descripción más clara de este
método. En figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo, con
polígonos regulares inscritos.
Sea
aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos, entonces, que el área del círculo es el
A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos (método de triangulación), yn A el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n , se ve que n A se
límite
de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos:
n
n
A lím A

Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento
indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula
del área de un círculo:
El
es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un
momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la
distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos
para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar
el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las
Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina
2 A r .Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento,
excesivamente pequeño, llamando la “
momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiemporazón del momentum” al tiempo correspondiente es
decir, la velocidad. Por lo tanto,
fluente es la cantidad variable que se identifica como
función
la
identifica como la
son entre sí como sus derivadas”.
; fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica comoderivada; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se llama momento que sediferencial. El principio establece que: “los momentos de las funciones
Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-
1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican
hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las
tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando
que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto
de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la
ordenada del mismo punto. Los símbolos
dx
dy
dx
, , la palabra “derivada” y el nombre de
ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.
Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el
Cálculo Diferencial, sobresaliendo entre otros, los siguientes:
Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos
diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del
Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz
en la invención del Cálculo Diferencial. Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar
ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a
otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de
reservarse el éxito para sí mismo y para su nación, ya que existía gran rivalidad entre
franceses, alemanes e ingleses, razón por la que las demostraciones de Fermat se hayan
perdido. Hizo además aportaciones a la geometría analítica, la teoría de números y la
probabilidad.
Nicolás Oresme, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que: en la
proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima,
dicha ordenada varía más pausadamente.
Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que
permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas,
igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en
que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje
pendiente de la tangente es nula.
Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677), maestro de Newton, construyó el
x donde la
“triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus
catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los
extremos del arco.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor
Medio. Se dice que Napoleón dijo de él un día: “Lagrange es la altiva pirámide de las
ciencias matemáticas”.
Augustin-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857),
matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las
Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones
de “
continua
función de función” y la de “función compuesta” se deben a él. El concepto de funciónfue introducido por primera vez por él en 1821. En la definición dada en su texto
Cours d’Analyse
de los pequeños cambios indefinidos en
se expresa que los pequeños cambios indefinidos en y eran el resultadox . “… se dirá que f xes una función continua
si… los valores numéricos de la diferencia
los de
f x f xdecrecen indefinidamente con…”. A principios del siglo XIX dio una definición satisfactoria de límite, y en
consecuencia, de derivada de una función.
Leonhard Euler (1707-1783). La simbología
importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los
primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos
publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía,
mecánica y magnetismo.
John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616
f xse debe a él, quien además de hacerOxford, 28 de octubre de 1703), enuncia
el concepto de “
La representación simbólica “
abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).
límite”.lím” se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de
El símbolo “
Karl Weierstrass, matemático alemán, se encargó de dar formalidad y estructura a la noción
intuitiva de límite.
Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) fue quien dio la primera definición moderna de
Al principio del desarrollo del cálculo, la definición de función era mucho más restringida
que en la actualidad, y no se habían considerado funciones como la de Dirichlet.
tiende alo propuso J. G. Leathem.función.
Jacobo Bernoulli introduce la palabra “
función” en el Cálculo Diferencial.
Niels Henrik Abel (1802.1829) y Evariste Galois (1811-1832). Aunque sus vidas fueron
breves, sus trabajos en los campos del análisis y del álgebra abstracta fueron de gran
alcance.
En el siglo XIX se encontraron bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente
pequeño.
El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como
una herramienta técnico
magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los
cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la
astronomía para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina
para medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del Cálculo Diferencial se deben a
Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el Cálculo Diferencial continuó
basándose en el concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama fundadores
del Cálculo, ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental
científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen
del Cálculo Diferencial denominado “Problema de las Tangentes”, en el cual hay que hallar
las rectas tangentes a una curva dada en un punto
quien trató de ampliar el cálculo al desarrollar reglas y asignarle una notación formal. A
menudo pasó días eligiendo una notación apropiada para un nuevo concepto.
P cualquiera. Sin embargo, fue Leibniz

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